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Mini Courses

Manuel González-Burgos (Université de Séville, Espagne)

Title : Controllability of non-scalar parabolic systems: Some recent results and phenomenal.

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Abstract


Abstract : 
In the first part of the course, we shall present some recent results on the controllability of systems of (several) parabolic equations when the control is exerted in a part of the domain (distributed control) or on a part of the boundary of the domain (boundary control). In both cases, we shall give some generalizations of the algebraic Kalman condition which will characterize the controllability properties of a class of parabolic systems. As a consequence, we shall also see that the distributed and boundary controllability properties of coupled parabolic systems are, in general, not equivalent. In this part, we will use Carleman estimates and the moment method of Fattorini-Russell.
In the second part of the course, we shall show some new phenomena which arise in the framework of controllability problems for non-scalar parabolic systems. On the one hand, we shall see that the controllability property depends on the geometric position of the support of the coupling term when this support does not intersect the control domain. On the other hand, we shall see that, even if the problem under consideration is parabolic, an explicit minimal time of controllability $latex T_0\in[0,\infty]$ arises. Thus, the corresponding system is not null controllable at time T if T < T0 and it is null controllable at time T when T > T0. This minimal time is related to:
1. Distributed control: The action of the distributed control when the support of the coupling term does not intersect the control domain.
2. Boundary control: The condensation index of the complex sequence of eigenvalues of the corresponding matrix elliptic operator.
We shall finalize the course with some generalizations and open problems.

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Mourad Choulli (Université de Lorraine – Nancy, France)

Title : À l’interface de la théorie du contrôle pour les EDP et des problèmes inverses d’évolution.

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Abstract


Anstract : On commence par le problème d’identification d’une source singulière dans un système abstrait qui est exactement contrôlable. Se fondant sur une inégalité d’observabilité, on démontre que le problème original se ramène à une équation intégrale qu’on résout par des méthodes classiques. Comme exemples de systèmes exactement contrôlables, on considérera l’équation des ondes et l’équation des plaques. Pour l’équation des ondes avec damping, on reprend cette même méthode qu’on combine avec une décomposition spectrale. Le but est d’établir des résultats de stabilité pour la détermination du potentiel et/ou le coecient de damping à partir de mesures frontières. On étend ensuite les résultats à l’équation des plaques. Finalement, on expliquera pourquoi cette approche n’est pas bien adaptée à l’équation de chaleur, qui est contrôlable à un temps nal mais non exactement contrôlable.

La seconde partie est dédiée à la reconstruction d’une distribution initiale de la chaleur à partir d’une mesure distribuée. On montre d’abord comment ce problème est naturellement lié aux séries de Dirichlet. On exploitera l’abondante littérature consacrée à l’analyse fonctionnelle autour du théorème

de Müntz pour démontrer divers résultats de stabilité en dimension un lorsque que l’on dispose d’une mesure ponctuelle en espace, y compris pour l’équation de la chaleur fractionnaire. Cette analyse a largement été développée dans le cadre de la théorie du contrôle. On terminera par des résultats de stabilité en lien avec des résultats récents d’observabilité (interne ou frontière), qui sont valables pour des ensembles de contrôle supposés uniquement mesurables et de mesure non nulle.

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Arnaud Münch (Université de Clermont-Ferrand, France)

Title : Résolution numérique de problèmes de contrôlabilité et de Problèmes inverses pour des équations d’évolutions.

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Abstract


Abstract : Ce cours concerne l’approximation numérique de contrôle exacte pour des équations d’évolutions de nature hyperbolique et parabolique. Nous rappelons tout d’abord l’état de l’art ainsi que les difficultés principales liées à l’approximation. Nous introduisons et décrivons ensuite des méthodes récentes et robustes, de type variationnelle espace-temps, qui permettent la construction d’approximations fortement convergente, lorsque le paramètre de discrétisation tends vers zéro. Ces méthodes sont illustrées sur l’équation linéaire des ondes, de la chaleur mais aussi de Stokes instationnaire pour des contrôles frontières et distribués. Le cas d’équations non-linéaires est aussi discuté et illustré sur l’exemple de l’équation de Navier-Stokes. Ensuite, nous montrons que ces méthodes variationnelles peuvent être également utilisées pour résoudre des problèmes inverses, où il s’agit de déterminer la solution d’une équation d’évolution à partir d’une observation localisée sur une partie du domaine.

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Armen Shirikyan ( Université de Cergy-Pontoise, France)

Title : Controllability properties of the Navier–Stokes system and applications.

Abstract


Abstract : We shall discuss the problem of stabilisation of a non-stationary solution for the 2D Navier–Stokes system with the help of an external force acting through the boundary. It will be shown that this can be done by a finite-dimensional feedback control. We next combine this result with some probabilistic techniques to prove that the property of exponentially mixing for the random dynamical system corresponding to 2D Navier–Stokes equations perturbed via the boundary by a stochastic force.

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